МЦНМО ИНТЕРНЕТ БИБЛИОТЕКА Физматлит

Каталог библиотеки

Игорь Владимирович Арнольд

Теоретическая арифметика.

М., Учпедгиз, 1938. — 480 с.
10 000 экз

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.
Введение.

Глава I.
Количественные натуральные числа.

§ 1. Счет.
§ 2. Множества.
§ 3. Равномощные множества.
§ 4. Классы равномощных множеств и количественные числа.
§ 5. Конкретный смысл числовых соотношений.
§ 6. Конкретные заместители абстрактного понятия о числе.
§ 7. Процесс счета и переход кабстрактной формулировке арифметических положений.
§ 8.Основные операции над множествами и над количественными числами в теории Кантора.
§ 9. Бесконечные множества и трансфинитные количественные числа.
§ 10. Необходимость логической характеристики конечныхмножеств.
§ 11. Логическая характеристика индивидуальных классов равномощных множеств.
§ 12. Конечные множества.
§ 13. Принцип полной индукции.
§ 14. Принцип полной индукциии суждения об открытых совокупностях.
§ 15. Свойства конечных множеств и системы конечных количественных чисел.
§ 16. Натуральный ряд как бесконечная совокупность.

Глава II.
Порядковое натуральное число.

§ 17. Аксиоматика натурального ряда. Система аксиом Пеано.
§ 18. Различные интерпретации системы аксиом Пеано.
§ 19. Метод индуктивных определений Грассмана.
§ 20. Теория арифметических действий по Грассману.
§ 21. Сравнение натуральных чисел в теории Грассмана.
§ 22. Введение нуля.
§ 23. Отрицательные числа и теория двустороннего натурального ряда.
§ 24. Порядковые трансфинитные числа.

Глава III.
Измерение скалярных величин и операторная теория рациональных чисел.

§ 25. Соотношения скалярного расположения. Скалярные величины.
§ 26. Числовая характеристика значений скалярной величины.
§ 27. Числовая характеристи казначений измеримых величин.
§ 28. Аддитивные величины. Задача измерения.
§ 29. Операторная теория рациональных чисел.
§ 30. Аксиома Архимеда.
§ 31. Соизмеримые и несоизмеримые переходы.
§ 32. Действительные числа.
§ 33. Построение шкалы числовых отметок на основе процесса измерения.
§ 34. Классификация скалярных величин на основе критерия выполнимости операций.

Глава IV.
Теории пар.

§ 35. Переход к теории пар.
§ 36. Отрицательные числа как пары положительных чисел.
§ 37. Пары как числовые системы с двумя единицами.
§ 38. Включение положительныхчисел в систему пар. Принцип перманентности.
§ 39. Общие свойства системы относительных чисел. Группа, кольцо, поле.
§ 40. Дробные числа как пары целых чисел.
§ 41. Система рациональных чисел как числовое поле.

Глава V.
Операторная теория действий третьей ступени.

§ 42. Постановка вопроса.
§ 43. Операторная теория возвышения в степень с дробным показателем.
§ 44. Мультипликативное (логарифмическое) измерение.
§ 45. Операции высших ступеней.

Глава VI.
Действительные числа.

§ 46. Постановка вопроса.
§ 47. Рациональная числовая прямая.
§ 48. Определение непрерывности по Дедекинду.
§ 49. Отсутствие непрерывностив системе рациональных чисел.
§ 50. Введение иррациональных чисел. Непрерывность системы действительных чисел.
§ 51. Теорема об ограниченных монотонных последовательностях. Точные границы ограниченного множества.
§ 52. Теорема о промежуточныхзначениях непрерывной функции.
§ 53. Метод конечного покрытияи метод деления промежутка.
§ 54. Теорема Вейерштрасса о предельной точке ограниченногомножества.
§ 55. Теорема о равномерной непрерывности.
§ 56. Теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной функцией своих точных границ.
§ 57. Замечания о теоремах существования.
§ 58. Всюду плотные множества и их сечения.
§ 59. Основная лемма.
§ 60. Двойные последовательности и бесконечные десятичные дроби.
§ 61. Основные операции в области действительных чисел.

Глава VII.
Степенная, показательная и логарифмическая функции.

§ 62. Операция извлечения корня. Степенная функция.
§ 63. Показательная функция.
§ 64. Логарифмическая функция.
§ 65. Общие теоремы о взаимнообратных функциях.
§ 66. Замечания о многозначных операциях.
§ 67. Функциональные уравнения,определяющие показательную, степенную и логарифмическую функции.
§ 68. Теорема Абеля об ассоциативных операциях.
§ 69. Натуральная показательная функция и натуральный логарифм.

Глава VIII.
Определение действительныхчисел с помощью их рациональных приближений.

§ 70. Постановка вопроса. Фундаментальное неравенство.
§ 71. Теория e-приближений.
§ 72. Операции над действительными числами, определенными системами e-приближений.

Глава IX.
Теория сходящихся последовательностей Кантора.

§ 73. Критерий сходимости Кошии его использование Кантором.
§ 74. Связь с теорией e-приближений.
§ 75. Критерий сходимости Коши с точки зрения теории Дедекинда.
§ 76. Теория действительных чисел по Кантору.
§ 77. Сечения в области рациональных чисел с точки зрения теории Кантора.
§ 78. Непрерывность системы действительных чисел в формулировке Кантора.
§ 79. Операции третьей ступени.
§ 80. Мощность системы действительных чисел.

Глава X.
Комплексные числа.

§ 81. Введение.
§ 82. Комплексные числа как операторы.
§ 83. Основные действия над комплексными числами.
§ 84. Возвышение в степень и извлечение корня.
§ 85. Координатная форма комплексного числа.
§ 86. Действия над комплекснымичислами в координатной форме.
§ 87. Теория пределов в комплексной области.
§ 88. Показательная и логарифмическая функции.
§ 89. Переход к теории пар.
§ 90. Комплексные числа как пары действительных чисел.

Глава XI.
Геометрическая теория кватернионов.

§ 91. Векторы-переходы в трехмерном пространстве.
§ 92. Кватернионы как операторы.
§ 93. Сложение кватернионов. Векторы-операторы.
§ 94. Умножение кватернионов. Версоры.
§ 95. Сферическая композиция.
§ 96. Перемножение векторов-операторов.
§ 97. Формулы умножения комплексных единиц i, j и k.
§ 98. Основные законы действий в алгебре кватернионов.
§ 99. Вращения вокруг осей в трехмерном пространстве.

Глава XII.
Числовые поля гиперкомплексных чисел.

§ 100. Гиперкомплексные числа.
§ 101. Теорема Фробениуса.

Глава XIII.
Делимость чисел. Разложение на простые множители.

§ 102. Предмет теории чисел.
§ 103. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель двух чисел.
§ 104. Обобщения. Общий наибольший делитель и наименьшее кратное нескольких чисел.
§ 105. Линейные зависимости между числами, связанные с величинами наименьшего кратного и наибольшего делителя нескольких чисел.
§ 106. Алгорифм Евклида.
§ 107. Непрерывные дроби и их простейшие приложения. Решение неопределенных уравнений первой степени.
§ 108. Разложение на первоначальные множители.
§ 109. О простых числах.
§ 110. Следствия теоремы о разложении на простые множители. Числовые функции [x] и f(х).

Глава XIV.
Теория сравнений.

§ 111. Понятие о сравнении. Классы равноостаточных чисел поданному модулю.
§ 112. Основные свойства сравнений. Операции сложения и умножения по данному модулю. Признаки делимости чисел.
§ 113. Операция деления. Делители нуля. Приведенная система вычетов.
§ 114. Решение сравнений первой степени.
§ 115. Дроби по простому модулю.
§ 116. Теоремы Ферма и Эйлера. Приложения к решениюсравнений первой степени.
§ 117. Теорема Вильсона.
§ 118. О числе решений сравнений высших степеней.
§ 119. Степенные вычеты. Первообразные корни простого модуля.
§ 120. Теория индексов и ее приложения.
§ 121. Приложения теории степенных вычетов к вопросам элементарной арифметики.

Предметный указатель.
Список литературы.



Список замеченных опечаток.
Скачать в формате Djvu 7.3 Mb
Rambler's Top100