МЦНМО ИНТЕРНЕТ БИБЛИОТЕКА Физматлит

Каталог библиотеки

Г.Полиа, Г.Сеге.
(George Polya, Gabor Szego.)

Задачи и теоремы из анализа.

Часть вторая.
Теория функций, распределение нулей полиномы, определители, теория чисел.

Перевод с немецкого Д.А.Райкова.

Издание третье.

М., Наука, 1978 — 432 с.


СОДЕРЖАНИЕ


Обозначения и сокращения.

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ.
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ.

Глава 1.
Максимальный член и центральный индекс,
максимум модуля и число нулей.
§ 1 (1—40). Аналогия между μ(r) и М(r), v(r) и N(r). Вопрос и ответ.
§ 2 (41—47). Дальнейшие свойства функций μ(r) и v(r). Вопрос и ответ.
§ 3 (48—66). Связь между μ(r), v(r), М(r), N(r). Вопрос и ответ.
§ 4 (67—76). μ(r) и М(r) при специальных предположениях правильности роста. Вопрос и ответ.

Глава 2.
Однолистные конформные отображения.
§ 1 (77—83). Задачи подготовительного характера. Вопрос и ответ.
§ 2 (84—87). Теоремы единственности. Вопрос и ответ.
§ 3 (88—96). Существование отображающей функции. Вопрос и ответ.
§ 4 (97—120). Внутренний и внешний радиусы. Нормированная отображающая функция. Вопрос и ответ.
§5 (121—135). Связи между отображениями различных областей. Вопрос и ответ.
§ 6 (136—163). Теорема Кебе об искажении. Вопрос и ответ.

Глава 3.
Смешанные задачи.
§ 1 (164—174). Varia. Вопрос и ответ.
§ 2 (175—179). Об одном приеме Э.Ландау. Вопрос и ответ.
§ 3 (180—187). Прямолинейное приближение к существенно особой точке. Вопрос и ответ.
§ 4 (188—194). Асимптотические значения целых функций. Вопрос и ответ.
§ 5 (195—205). Дальнейшие приложения метода Фрагмена-Линделёфа. Вопрос и ответ.

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ.

Глава 1.
Теорема Ролля и правило Декарта.
§ 1 (1—21). Нули функций, перемены знака последовательностей. Вопрос и ответ.
§ 2 (22—27). Изменения знака функции. Вопрос и ответ.
§ 3 (28—41). Первое доказательство правила Декарта. Вопрос и ответ.
§ 4 (42—52). Применения правила Декарта. Вопрос и ответ.
§ 5 (53—76). Применения теоремы Ролля. Вопрос и ответ.
§ 6 (77—86). Доказательство правила Декарта, прянадлежащее Лагерру. Вопрос и ответ.
§ 7 (87—91). На чем основывается правило Декарта? Вопрос и ответ.
§ 8 (92—100). Обобщения теоремы Ролля. Вопрос и ответ.

Глава 2.
Геометрические свойства нулей полиномов.
§ 1 (101—110). Центр тяжести системы точек относительно некоторой точки. Вопрос и ответ.
§ 2 (111—127). Центр тяжести полинома относительно некоторой точки. Теорема Лагерра. Вопрос и ответ.
§ 3 (128—156). Производная полинома относительно некоторой точки. Теорема Грэйса. Вопрос и ответ.

Глава 3.
Смешанные задачи.
§ 1 (157—182). Приближение нулей трансцендентных функций нулями рациональных. Вопрос и ответ.
§ 2 (183—189). Точное определение числа нулей при помощи правила Декарта. Вопрос и ответ.
§ 3 (190—196). Прочие задачи, относящиеся к нулям полиномов. Вопрос и ответ.

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ.
ПОЛИНОМЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ.

§ 1 (1—7). Полиномы Чебышева. Вопрос и ответ.
§ 2 (8—15). Общие сведения о тригонометрических полиномах. Вопрос и ответ.
§ 3 (16—28). Специальные тригонометрические полиномы. Вопрос и ответ.
§ 4 (29—38). Из теории рядов Фурье. Вопрос и ответ.
§ 5 (39—43). Неотрицательные тригонометрические полиномы. Вопрос и ответ.
§ 6 (44—49). Неотрицательные полиномы. Вопрос и ответ.
§ 7 (50—61). Максимумы и минимумы тригонометрических полиномов. Вопрос и ответ.
§ 8 (62—66). Максимумы и минимумы полиномов. Вопрос и ответ.
§ 9 (67—76). Интерполяционная формула Лагранжа. Вопрос и ответ.
§ 10 (77—83). Теоремы С.Бернштейна и А.Маркова. Вопрос и ответ.
§ 11 (84—102). Полиномы Лежандра и родственные им. Вопрос и ответ.
§ 12 (103—113). Прочие задачи на максимумы и минимумы полиномов. Вопрос и ответ.

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

§ 1 (1—16). Вычисление определителей. Решение линейных уравнений. Вопрос и ответ.
S 2 (17—34). Разложение рациональных функций в степенные ряды. Вопрос и ответ.
§ 3 (35—43). Положительные квадратичные формы. Вопрос и ответ.
§ 4 (44—54). Смешанные задачи. Вопрос и ответ.
§ 5 (55—72). Определители систем функций. Вопрос и ответ.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ.
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Глава 1.
Теоретико-числовые функции.
§ 1 (1—11). Задачи на целые части чисел. Вопрос и ответ.
§ 2 (12—20). Подсчет целых точек. Вопрос и ответ.
§3 (21—27). Одна теорема формальной логики и ее применения. Вопрос и ответ.
§ 4 (28—37). Части и делители. Вопрос и ответ.
§ 5 (38—42). Теоретико-числовые функции. Степенные ряды и ряды Дирихле. Вопрос и ответ.
§ 6 (43—64). Мультипликативные теоретико-числовые функции. Вопрос и ответ.
§ 7 (65—78). Ряды Ламберта и родственные им. Вопрос и ответ.
§ 8 (79—83). Дальнейшие задачи на подсчет целых точек. Вопрос и ответ.

Глава 2.
Целочисленные полиномы и целозначные функции.
§ 1 (84—93). Целочисленность и целозначность полиномов. Вопрос и ответ.
§ 2 (94—115). Целозначные функции и их простые делители. Вопрос и ответ.
§ 3 (116—129). Неприводимость полиномов. Вопрос и ответ.

Глава 3.
Теоретико-числовые свойства степенных рядов.
§ 1 (130—137). Подготовительные задачи о биномиальных коэффициентах. Вопрос и ответ.
§ 2 (138—148). К теореме Эйзенштейна. Вопрос и ответ.
§ 3 (149—154). К доказательству теоремы Эйзенштейна. Вопрос и ответ.
§ 4 (155—164). Целочисленные степенные ряды рациональных функций. Вопрос и ответ.
§ 5 (165—173). Теоретико-функциональные свойства целочисленных степенных рядов. Вопрос и ответ.
§ 6 (174—187). Степенные ряды, целочисленные в смысле Гурвица. Вопрос и ответ.
§ 7 (188—193). Значения степенных рядов, сходящихся в окрестности точки z==∞, в целочисленных точках. Вопрос и ответ.

Глава 4.
Об алгебраических целых числах.
§ 1 (194—203). Алгебраические целые числа. Поля. Вопрос и ответ.
§ 2 (204—220). Наибольший общий делитель. Вопрос и ответ.
§ 3 (221—227). Сравнения. Вопрос и ответ.
§ 4 (228—237). Теоретико-числовые свойства степенных рядов. Вопрос и ответ.

Глава 5.
Смешанные задачи.
§ 1 (238—244). Плоская квадратная целая решетка. Вопрос и ответ.
§ 2 (245—266). Смешанные задачи. Вопрос и ответ.

ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ (приложение).
НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ.

(1—25). Вопрос и ответ.
Предметный указатель.


Скачать в формате Djvu 4.0 Mb
Rambler's Top100