Тема "Возвратные последовательности" близка к школьному курсу (арифметические и геометрические прогрессии, последовательность квадратов натуральных чисел, последовательности коэффициентов частного многочленов, расположенных по возрастающим степеням, и т. п.). Вместе с тем это настоящая маленькая математическая теория*), законченная, простая, ясная, как и всё то, что вышло из рук крупнейших мастеров математического анализа, создавших эту теорию.

Основы теории возвратных последовательностей были разработаны и опубликованы в двадцатых годах восемнадцатого века французским математиком Муавром [имя которого носит формула: (cos(a) + isin(a))ⁿ = cos(na) + isin(na) и одним из первых по времени членов Петербургской Академии наук швейцарским математиком Даниилом Бернулли. Развёрнутую теорию дал крупнейший математик восемнадцатого века петербургский академик Леонард Эйлер, посвятивший возвратным последовательностям (рядам) тринадцатую главу своего "Введения в анализ бесконечно-малых" (1748)**). Из более поздних работ следует выделить изложение теории возвратных последовательностей в курсах исчисления конечных разностей, читанных знаменитыми русскими математиками академиками П. Л. Чебышевым и А. А. Марковым***).

*) Для искушённого в математическом анализе читателя мы укажем, что это точный аналог теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

**) См. русский перевод первого тома этого труда, написанного Эйлером на латинском языке: Л. Эйлер, Введение в анализ бесконечно-малых, т. I, M. — Л., 1936, стр. 197–218.

***) См. П. Л.Чебышев, Теория вероятностей, лекции 1879–1880 гг., М. — Л., 1936, стр. 139–147; А. А. Марков, Исчисление конечных разностей, 2-е изд., Одесса, 1910, стр. 209–239.

© МЦНМО, 2003
© ФИЗМАТЛИТ, 2003